§2 Large Scale kSZ from Reionization

§2 Section Introduction

Original Text & Literal Translation

[¶1] In this section, the expressions that determine the kSZ fluctuation along a given line of sight, as well as its power spectrum, are presented first for an arbitrary electron momentum field separated into curl and divergence-free components. Analytical expressions are obtained using linear theory, and it is shown how the fluctuations created while the ionized fraction is evolving rapidly, as expected during reionization, is qualitatively different from that generated at later times, when the universe is nearly fully-ionized. Finally, an estimate of the size and amplitude of temperature fluctuations created by rare, isolated H II regions along the line of sight is given.

[¶1 译] 本节首先给出沿给定视线方向的 kSZ 涨落及其功率谱的表达式，适用于任意电子动量场——将其分解为旋度分量（curl）和无散分量（divergence-free）。利用线性理论获得解析表达式，并展示电离分数快速演化期间（即再电离期间）产生的涨落，与后期（宇宙几乎完全电离时）产生的涨落在性质上有本质不同。最后，给出沿视线方向由稀有、孤立 HII 区产生的温度涨落的尺度和振幅估计。

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§2.1 Basic Expressions

Original Text & Literal Translation

[¶2] The optical depth to Thomson scattering along a direction \(\hat{\boldsymbol{\gamma}}\) in the sky is given by

\[\tau(\hat{\boldsymbol{\gamma}}) = \int d\chi\, g(z)\left[1 + \delta_e(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}})\right], \tag{1}\]

where \(\delta_e\) is the electron density contrast, \(\delta_e = \delta + \delta_x + \delta_x\delta\), \(\delta\) is the gas density contrast, and the ionization contrast is defined to be \(\delta_x = x_e/x - 1\), where \(x_e = n_e/n_{e,0}\) is the ionized fraction and \(x(z)\) is the mean, volume averaged, ionized fraction, and \(n_{e,0} = [1-(4-N_{\rm He})Y/4]\,\Omega_b\rho_{\rm crit}/m_p\), with a helium mass fraction of \(Y = 0.24\). The number of helium ionizations per hydrogen ionization is set to \(N_{\rm He} = 1\) and 2 for \(z > 3\) and \(z < 3\), respectively, so that helium is singly ionized along with hydrogen and Helium II reionization occurs instantaneously at \(z = 3\). The visibility function is defined to be

\[g(z) = \frac{\partial\langle\tau\rangle}{\partial\chi} = \sigma_T\, n_{e,0}\, x(z)\,(1+z)^2 \equiv g_0(z)\,x(z), \tag{2}\]

where \(\langle\tau\rangle\) is the mean optical depth over the sky.

[¶2 译] 沿天空方向 \(\hat{\boldsymbol{\gamma}}\) 的 Thomson 散射光学深度由下式给出：

\[\tau(\hat{\boldsymbol{\gamma}}) = \int d\chi\, g(z)\left[1 + \delta_e(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}})\right], \tag{1}\]

其中 \(\delta_e\) 是电子密度对比度（density contrast），\(\delta_e = \delta + \delta_x + \delta_x\delta\)，\(\delta\) 是气体密度对比度，电离对比度定义为 \(\delta_x = x_e/x - 1\)，其中 \(x_e = n_e/n_{e,0}\) 是电离分数，\(x(z)\) 是平均的体积加权电离分数，\(n_{e,0} = [1-(4-N_{\rm He})Y/4]\,\Omega_b\rho_{\rm crit}/m_p\)，氦质量分数 \(Y = 0.24\)。每个氢电离对应的氦电离数设为 \(N_{\rm He} = 1\)（\(z > 3\)）和 \(N_{\rm He} = 2\)（\(z < 3\)），即氦在氢电离的同时被单次电离，氦 II 再电离在 \(z = 3\) 瞬时完成。可见度函数（visibility function）定义为：

\[g(z) = \frac{\partial\langle\tau\rangle}{\partial\chi} = \sigma_T\, n_{e,0}\, x(z)\,(1+z)^2 \equiv g_0(z)\,x(z), \tag{2}\]

其中 \(\langle\tau\rangle\) 是全天平均光学深度。

[¶2 追问：\(\delta\) 和 \(\delta_x\) 的含义]

\(\delta\) — 气体密度对比度（gas density contrast） $\(\delta(\mathbf{x}) = \frac{\rho(\mathbf{x}) - \bar{\rho}}{\bar{\rho}}\)$ 某位置气体密度相对宇宙平均的偏差。\(\delta = 0\) 为平均；\(\delta > 0\) 为高密度区（暗物质晕、丝状结构）；\(\delta < 0\) 为低密度区（空洞）。[原文]

\(\delta_x\) — 电离对比度（ionization contrast） $\(\delta_x = \frac{x_e}{x} - 1\)$ \(x_e\) 是局部电离分数，\(x(z)\) 是全宇宙平均电离分数。\(\delta_x\) 描述某处电离程度相对平均的偏差。\(\delta_x = 0\)：与平均相同；\(\delta_x > 0\)：已电离的 HII 区内部；\(\delta_x = -1\)：完全中性（\(x_e = 0\)）。[原文]

组合关系：电子密度对比度 \(\delta_e = \delta + \delta_x + \delta_x\delta\)，即 \((1+\delta_e) = (1+\delta)(1+\delta_x)\)——某处电子数 = 气体密度 × 电离分数。[原文]

直觉图景： | 位置 | \(\delta\) | \(\delta_x\) | 电子多不多？ | |------|----------|------------|------------| | HII 泡泡中心（密度峰） | \(> 0\) | \(> 0\) | 很多——又密又电离 | | HII 泡泡边缘（平均密度） | \(\approx 0\) | \(> 0\) | 中等——密度一般但已电离 | | 中性区（空洞） | \(< 0\) | \(= -1\) | 零——既稀薄又中性 | | 中性区（密度峰但未电离） | \(> 0\) | \(= -1\) | 零——虽然密但全是中性氢 |

\(\delta\) 和 \(\delta_x\) 是独立的物理量——密度高不意味着已电离。但统计上它们相关：HII 区倾向于在密度峰处形成（那里有更多星系作 UV 源），即"HII region bias"。[补充]

为什么中性区 \(\delta_x = -1\)？ 由定义 \(\delta_x = x_e/x - 1\)，中性区 \(x_e = 0\)，所以 \(\delta_x = 0/x - 1 = -1\)。这是对比度的下界（和 \(\delta = \rho/\bar{\rho} - 1\) 的下界一样），对应"完全没有"。物理上 \((1+\delta_x) = 0\) → \((1+\delta_e) = (1+\delta)(1+\delta_x) = 0\)：不管气体密度多高，只要没电离就没有自由电子，对 kSZ 零贡献——中性区对光子完全透明。[补充]

两者之所以重要：kSZ 比动量 \(\mathbf{q} = (1+\delta)(1+\delta_x)\mathbf{v}\) 展开后给出 §3 的四分量分解：\(\mathbf{v}\)（Doppler）、\(\delta\mathbf{v}\)（OV）、\(\delta_x\mathbf{v}\)（Patchy）、\(\delta_x\delta\mathbf{v}\)（三阶）。[补充]

[¶3] The kSZ temperature fluctuation in a direction \(\hat{\boldsymbol{\gamma}}\) is

\[\frac{\Delta T(\hat{\boldsymbol{\gamma}})}{T_{\rm cmb}} = \int d\tau\;\mathbf{v}(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}})\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}} = \int d\chi\;g(z)\;\mathbf{q}(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}})\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}}, \tag{3}\]

where the specific momentum \(\mathbf{q} = (1+\delta_e)\mathbf{v} = (1+\delta)(1+\delta_x)\mathbf{v}\). This momentum can be separated into transverse and longitudinal components, according to whether its Fourier transform is perpendicular or parallel to wavenumber, respectively, \(\mathbf{q}_{\mathbf{k},\perp} = \mathbf{q}_\mathbf{k} - (\mathbf{q}_\mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{k}})\hat{\mathbf{k}}\) and \(\mathbf{q}_{\mathbf{k},\parallel} = (\mathbf{q}_\mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{k}})\hat{\mathbf{k}}\).

[¶3 译] 沿方向 \(\hat{\boldsymbol{\gamma}}\) 的 kSZ 温度涨落为：

\[\frac{\Delta T(\hat{\boldsymbol{\gamma}})}{T_{\rm cmb}} = \int d\tau\;\mathbf{v}(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}})\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}} = \int d\chi\;g(z)\;\mathbf{q}(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}})\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}}, \tag{3}\]

其中比动量（specific momentum）\(\mathbf{q} = (1+\delta_e)\mathbf{v} = (1+\delta)(1+\delta_x)\mathbf{v}\)。这个动量可以分解为横向分量和纵向分量，取决于其 Fourier 变换是垂直还是平行于波矢方向：\(\mathbf{q}_{\mathbf{k},\perp} = \mathbf{q}_\mathbf{k} - (\mathbf{q}_\mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{k}})\hat{\mathbf{k}}\)，\(\mathbf{q}_{\mathbf{k},\parallel} = (\mathbf{q}_\mathbf{k}\cdot\hat{\mathbf{k}})\hat{\mathbf{k}}\)。

[¶4] The expression for the angular power spectrum is

\[C_\ell = C_\ell^\parallel + C_\ell^\perp = \int d\chi \int d\chi'\left[F_\ell^\perp(\chi,\chi') + 2F_\ell^\parallel(\chi,\chi')\right], \tag{4}\]

where

\[F_\ell^i(\chi,\chi') = \frac{1}{\pi}\int dk\;P_{f_i}(k,\chi,\chi')\;j_\ell(k\chi)\;j_\ell(k\chi'), \tag{5}\]

\((2\pi)^3 P_f(k,\chi,\chi')\,\delta(\mathbf{k}-\mathbf{k}') = \langle f(\mathbf{k},\chi)\,f^*(\mathbf{k}',\chi')\rangle\), and

\[f_\perp(\mathbf{k},\chi) \equiv g(\chi)\,q_\perp(\mathbf{k},\chi), \qquad f_\parallel(\mathbf{k},\chi) \equiv \frac{\partial}{\partial\chi}\left[g(\chi)\,q_\parallel(\mathbf{k},\chi)\right]. \tag{6}\]

Note that \(C_\ell^\parallel\) is an integral over the power spectrum of the derivative of \(g(z)\,q_\parallel\) with respect to comoving distance. It falls off strongly towards small scales because the visibility function changes slowly along the line of sight, in comparison to the wavelength of the velocity perturbation, leading to nearly complete cancellation.

[¶4 译] 角功率谱的表达式为：

\[C_\ell = C_\ell^\parallel + C_\ell^\perp = \int d\chi \int d\chi'\left[F_\ell^\perp(\chi,\chi') + 2F_\ell^\parallel(\chi,\chi')\right], \tag{4}\]

其中

\[F_\ell^i(\chi,\chi') = \frac{1}{\pi}\int dk\;P_{f_i}(k,\chi,\chi')\;j_\ell(k\chi)\;j_\ell(k\chi'), \tag{5}\]

\((2\pi)^3 P_f(k,\chi,\chi')\,\delta(\mathbf{k}-\mathbf{k}') = \langle f(\mathbf{k},\chi)\,f^*(\mathbf{k}',\chi')\rangle\)，以及

\[f_\perp(\mathbf{k},\chi) \equiv g(\chi)\,q_\perp(\mathbf{k},\chi), \qquad f_\parallel(\mathbf{k},\chi) \equiv \frac{\partial}{\partial\chi}\left[g(\chi)\,q_\parallel(\mathbf{k},\chi)\right]. \tag{6}\]

注意 \(C_\ell^\parallel\) 是对 \(g(z)\,q_\parallel\) 关于共动距离的导数的功率谱的积分。它在小尺度上急剧衰减，因为可见度函数沿视线方向变化缓慢（相比速度扰动的波长），导致近乎完全的消去。

[¶4 追问：\(f\)、\(\perp\)、\(\parallel\) 的含义]

\(f\) 是什么？ 只是"可见度 × 动量分量"的简写，没有独立物理含义。\(f_\perp = g\,q_\perp\)，\(f_\parallel = \partial(g\,q_\parallel)/\partial\chi\)。目的是让功率谱公式写起来紧凑。[重述]

\(\parallel\) 和 \(\perp\) 的含义——是对动量 \(\mathbf{q}\) 在 Fourier 空间中相对波矢 \(\hat{\mathbf{k}}\) 的分解： - \(q_\parallel\)（纵向）：平行于 \(\hat{\mathbf{k}}\)，对应无旋（irrotational）的速度场——即引力驱动的坍缩/膨胀流。线性理论中 \(\mathbf{v} \propto \mathbf{k}\,\delta/k^2\)，纯纵向。 - \(q_\perp\)（横向）：垂直于 \(\hat{\mathbf{k}}\)，对应无散（solenoidal）的涡旋成分。线性纯速度场没有此分量；但 \(\mathbf{q} = (1+\delta)(1+\delta_x)\mathbf{v}\) 中密度/电离的空间不均匀性会从纯纵向速度"搅出"有效横向动量。[补充]

两者对 kSZ 的贡献为什么不同？ - \(f_\parallel = \partial(g\,q_\parallel)/\partial\chi\)——多了一个对 \(\chi\) 的导数。如果 \(g\) 和 \(q_\parallel\) 变化缓慢，导数小 → 视线正负抵消 → \(C_\ell^\parallel\) 被压低。这就是"视线消去"。[原文] - \(f_\perp = g\,q_\perp\)——没有取导数，不受视线消去影响。但需要密度/电离不均匀"搅出" \(q_\perp\)（即 OV 和 patchy 效应），在线性均匀情况下 \(q_\perp = 0\)。[补充]

	\(\parallel\)（纵向）	\(\perp\)（横向）
来源	引力驱动的无旋流	密度/电离不均匀搅出的有效横向动量
取导数？	是 → 受视线消去	否 → 不受视线消去
何时重要	再电离转变期（\(g\) 变化快，消去不完全）→ Doppler 峰	小尺度（\(\ell \gtrsim 300\)）密度/patchy 调制

[¶4 追问：\(C_\ell\) 为什么分 \(\parallel\) 和 \(\perp\)？]

不是人为选择分，而是统计对称性要求。\(\mathbf{q}\) 是矢量场，在 Fourier 空间中任何矢量场唯一分解为平行于 \(\hat{\mathbf{k}}\)（纵向）和垂直于 \(\hat{\mathbf{k}}\)（横向）两个分量。由于宇宙统计各向同性，两者统计不相关（\(\langle q_\parallel q_\perp^*\rangle = 0\)），所以功率谱自然解耦为 \(C_\ell = C_\ell^\parallel + C_\ell^\perp\)。[补充]

分开的好处——两个分量物理行为完全不同： - \(C_\ell^\parallel\)：\(f_\parallel\) 取了导数 → 受视线消去。均匀电离时几乎为零，但再电离转变期 \(g\) 急变 → 产生 \(\ell \sim 20\)–\(30\) Doppler 峰 - \(C_\ell^\perp\)：\(f_\perp\) 无导数 → 不受视线消去。但线性速度场无旋（\(q_\perp = 0\)），只有密度/电离不均匀"搅出"横向动量后才有贡献 → OV/patchy 效应在 \(\ell \gtrsim 300\) 通过此通道进入

不分开就只看到一个总 \(C_\ell\)，无法区分"视线消去后残留的纵向信号"和"密度/电离调制产生的横向信号"。[补充]

[¶2 追问：\(g(z)\) 可见度函数长什么样？]

定义：\(g(z) = \sigma_T \, n_{e,0} \, x(z) \, (1+z)^2\)——三个因素相乘：Thomson 截面 × 当前电子数密度 × 电离分数 × 膨胀因子。[原文]

恒定电离（\(x=1\)）：\(g \propto (1+z)^2\)，从低 \(z\) 到高 \(z\) 单调上升（宇宙越年轻越密）。绝对值很小（\(\sigma_T n_{e,0} \sim 2 \times 10^{-5}\,\text{Mpc}^{-1}\)），所以再电离后宇宙对 CMB 几乎透明（\(\tau \ll 1\)）。[补充]

有再电离（tanh 模型）：\(x(z)\) 在 \(z \approx z_r\) 处从 0 急剧跳到 1。因此 \(g(z)\) 的形状是： - \(z \gg z_r\)：\(x \to 0\) → \(g \to 0\)（中性气体无自由电子，不散射） - \(z \approx z_r\)：\(x\) 陡然升起 → \(g\) 在此处急剧增大 - \(z < z_r\)：\(x = 1\)，\(g \propto (1+z)^2\) 缓慢随 \(z\) 降低而减小

峰值出现在 \(z\) 略低于 \(z_r\) 的位置——\((1+z)^2\) 的增长被 \(x(z)\) 的截断所压制。[补充]

为什么形状重要： - \(u(z) = g(z) \cdot \dot{D}/D/(1+z)\) 的导数 \(\partial u/\partial\chi\) 在 \(z_r\) 处出现尖峰（\(g\) 从零跳到有限值） - \(C_\ell^\parallel \propto (\partial u/\partial\chi)^2\) → 尖峰 = Doppler 峰（\(\ell \sim 20\)–\(30\)）的来源 - 如果没有再电离（\(x\) 一直是 1），\(g(z)\) 光滑 → \(\partial u/\partial\chi\) 无尖峰 → 视线消去几乎完全抹掉纵向信号

这就是 §2.2 中"不完全消去"的几何来源：\(g(z)\) 的急变程度决定了消去有多"不完全"。[补充]

Faithful Paraphrase

§2.1 建立了 kSZ 效应的数学框架，回答的核心问题是：沿一条视线方向，CMB 温度涨落是怎么从电子的运动中产生的？

1. 光学深度 \(\tau\)（Eq.1）= 沿视线积分"可见度函数 × 电子密度涨落"。可见度函数 \(g(z)\)（Eq.2）= 单位共动距离的平均光学深度，本质上是"此处电子对光子的散射概率密度"。[重述]

2. kSZ 温度涨落（Eq.3）= 沿视线积分"可见度 × 电子比动量在视线方向的投影"。关键量是 \(\mathbf{q} = (1+\delta)(1+\delta_x)\mathbf{v}\)——密度涨落、电离涨落、速度三者的耦合。[重述]

3. 功率谱（Eq.4–6）：将动量场分解为 \(\perp\)（横向）和 \(\parallel\)（纵向）。纵向分量的贡献 \(C_\ell^\parallel\) 取决于 \(g(z)q_\parallel\) 的导数，因此在小尺度上因可见度函数缓变而被消去。[原文]

Physics Meaning

• 物理对象：自由电子场（由 \(n_{e,0}\), \(x(z)\), \(\delta\), \(\delta_x\) 描述）+ 速度场 \(\mathbf{v}\)
• 核心过程：CMB 光子穿过再电离介质时被电子散射，电子的整体运动给光子一个 Doppler 频移 → 温度涨落
• 控制参数：可见度函数 \(g(z)\)（取决于电离历史 \(x(z)\)），比动量 \(\mathbf{q}\)（耦合了密度、电离、速度）
• 关键近似：\(e^{-\tau} \approx 1\)（光学薄，§1 ¶13 已声明）
• 纵向消去效应：\(C_\ell^\parallel \propto (\partial/\partial\chi)[g\,q_\parallel]\)——如果可见度函数变化缓慢（即电离状态几乎不变），则沿视线方向速度正负交替导致积分接近零。这就是 §1 提到的"line-of-sight cancellation"的数学表达。[原文 + 补充]
• 本段推进：为后续 §2.2（线性近似下的 Doppler 功率谱）和 §2.3（交叉相关）奠定了通用公式基础

Equation Notes

编号	动机（为什么写成这样）	符号表	物理含义
Eq.1	操作：把光子沿视线遇到的所有电子加起来。形式：积分"每步的散射概率 × 该处电子数偏差"	\(\chi\)：共动距离；\(g(z)\)：可见度函数；\(\delta_e = \delta + \delta_x + \delta_x\delta\)	沿视线的 Thomson 光学深度
Eq.2	操作：定义"每单位距离的散射概率"。形式：\(\sigma_T \times\) 电子数密度 \(\times\) 电离分数 \(\times\) 宇宙膨胀因子	\(\sigma_T\)：Thomson 截面；\(n_{e,0}\)：当前电子数密度；\(x(z)\)：平均电离分数	可见度函数 = 散射概率密度
Eq.3	操作：把每次散射的 Doppler 频移沿视线累加。形式：积分"散射概率 × 电子动量在视线方向投影"。用 \(\mathbf{q}\) 而非 \(\mathbf{v}\) 是为了把局部密度/电离偏差吸收进速度里，简化积分	\(\mathbf{q} = (1+\delta)(1+\delta_x)\mathbf{v}\)	kSZ 温度涨落
Eq.4	操作：算所有方向平均的温度涨落统计量。形式：分 \(\parallel\)/\(\perp\) 是因为矢量场的纵向/横向分量在各向同性宇宙中统计独立，功率谱自然解耦	\(C_\ell^\parallel\)：纵向；\(C_\ell^\perp\)：横向	角功率谱的纵横分解
Eq.5	操作：把三维功率谱投影到二维天球上。形式：标准 CMB 投影技巧——\(P(k)\) 经球 Bessel 函数 \(j_\ell\) 加权积分	\(P_{f_i}\)：\(f_i\) 的功率谱；\(j_\ell\)：球 Bessel 函数	三维→二维投影
Eq.6	操作：定义辅助函数。形式：\(f_\parallel\) 多一个 \(\partial/\partial\chi\) 导数——因为 \(q_\parallel\) 平行于波矢 = 梯度场，沿视线积分梯度等于端点之差，中间相消（视线消去）。\(f_\perp\) 无此性质所以没有导数	—	\(\parallel\) 取导数 → 视线消去；\(\perp\) 不取导数 → 不消去

Consistency Check

• 原文直说：\(\delta_e\) 的分解（\(\delta + \delta_x + \delta_x\delta\)）；氦的处理方式（\(N_{\rm He}=1\)/\(2\)）；\(C_\ell^\parallel\) 的导数结构导致小尺度消去
• 忠实重述：\(g(z)\) 是"此处电子对光子的散射概率密度"；\(\mathbf{q}\) 是"密度、电离、速度三者的耦合"
• Agent 补充：将纵向消去与 §1 ¶9 的 "line-of-sight cancellation" 做了对应
• 仍然模糊：\(C_\ell^\perp\) 的 coefficient 2（Eq.4 中 \(2F_\ell^\parallel\)）——原文没有解释这个因子 2 的来源；\(\text{FnTwo}\) 可能是脚注但源码中未找到定义

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§2.2 Angular Power Spectrum of Doppler Effect

Original Text & Literal Translation

[¶5] Approximating the velocity using linear perturbation theory, \(\mathbf{v}(\mathbf{k}) = -iaHf\,\delta(\mathbf{k})\,\mathbf{k}/k^2\), where \(f(z) \equiv d\ln D / d\ln a\), and only keeping the leading order term in \(q_\parallel(\mathbf{k})\), so that \(f_\parallel(\mathbf{k}) \rightarrow \partial[g(z)\mathbf{v}(\mathbf{k})]/\partial\chi\), we obtain

\[F_\ell^\parallel \approx F_\ell^{\parallel(1)} \equiv \frac{1}{\pi}\frac{\partial u}{\partial\chi}\frac{\partial u'}{\partial\chi'}\int\frac{dk}{k^2}\,P(k)\,j_\ell(k\chi)\,j_\ell(k\chi') = U(\chi,\chi')\,W_\ell(\chi,\chi'),\]

where \((2\pi)^3 P(k)\,\delta^D(\mathbf{k}-\mathbf{k}') = \langle\delta(\mathbf{k})\delta^*(\mathbf{k}')\rangle\),

\[U(\chi,\chi') \equiv \frac{\partial u}{\partial\chi}\frac{\partial u'}{\partial\chi'}, \qquad W_\ell(\chi,\chi') \equiv \frac{1}{\pi}\int\frac{dk}{k^2}\,P(k)\,j_\ell(k\chi)\,j_\ell(k\chi'),\]

and

\[u(z) \equiv g(z)\,\dot{D}(z)/D(z)/(1+z) \equiv u_0(z)\,x(z).\]

[¶5 译] 利用线性扰动论近似速度场，\(\mathbf{v}(\mathbf{k}) = -iaHf\,\delta(\mathbf{k})\,\mathbf{k}/k^2\)，其中 \(f(z) \equiv d\ln D / d\ln a\)（线性增长率），仅保留 \(q_\parallel(\mathbf{k})\) 的最低阶项，即 \(f_\parallel(\mathbf{k}) \rightarrow \partial[g(z)\mathbf{v}(\mathbf{k})]/\partial\chi\)，得到：

\[F_\ell^\parallel \approx U(\chi,\chi')\,W_\ell(\chi,\chi'),\]

其中 \(U\) 编码了可见度函数 \(g\) 和增长率的共动距离导数，\(W_\ell\) 是物质功率谱 \(P(k)\) 经球 Bessel 函数加权的积分。关键辅助量 \(u(z) \equiv g(z)\,\dot{D}(z)/D(z)/(1+z) = u_0(z)\,x(z)\) 耦合了可见度函数和速度增长。

[¶6] Shown in Figure 1 is the contribution per redshift interval to the total signal,

\[\frac{\partial^2(\ell^2 C_\ell)}{2\pi\,\partial z\,\partial z'} = \frac{1}{\pi^2}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial u'}{\partial z'}\,W_\ell(z,z').\]

Two cases are shown: uniform ionization (i.e. no recombination, \(x = 1\); upper-left in each panel), and an analytical reionization history given by

\[x(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \tanh\left(\frac{y(z_r) - y}{\Delta y}\right)\right],\]

where \(y(z) = (1+z)^{3/2}\) and \(\Delta y = \frac{3}{2}(1+z_r)^{1/2}\Delta z\), and we have set \(z_r = 10\) and \(\Delta z = 0.5\) (lower-right in each panel).

[¶6 译] 图 1 展示了对总信号的逐红移贡献：

\[\frac{\partial^2(\ell^2 C_\ell)}{2\pi\,\partial z\,\partial z'} = \frac{1}{\pi^2}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial u'}{\partial z'}\,W_\ell(z,z').\]

给出了两种情况：均匀电离（即无复合，\(x = 1\)；每个子图的左上）和一个解析再电离历史：

\[x(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \tanh\left(\frac{y(z_r) - y}{\Delta y}\right)\right],\]

其中 \(y(z) = (1+z)^{3/2}\)，\(\Delta y = \frac{3}{2}(1+z_r)^{1/2}\Delta z\)，取 \(z_r = 10\)，\(\Delta z = 0.5\)（每个子图的右下）。

[¶7] There is a stark difference between a reionizing universe, in which the ionization fraction goes from \(\sim 0\) to \(\sim 1\) over a relatively short interval of redshift, and one in which the ionization fraction is constant, \(x = 1\). The realistic scenario exhibits a strongly peaked contribution produced at the 'surface of re-scattering' at \(z \sim z_r = 10\) (lower right half of each panel). This is due to incomplete cancelation of the line of sight velocity modes, as the ionization fraction evolves significantly even across the velocity perturbation itself (Alvarez et al. 2006). The 'no-reionization' scenario, however, shows no such peak, and the contribution is much more smoothly distributed with redshift, and confined to relatively larger scales.

[¶7 译] 再电离宇宙（电离分数在相对较短的红移区间内从 \(\sim 0\) 变为 \(\sim 1\)）与恒定电离（\(x = 1\)）之间存在鲜明差异。真实的再电离场景在"再散射面"（surface of re-scattering）\(z \sim z_r = 10\) 处表现出强烈的峰值贡献（每个子图的右下半部分）。这是因为视线方向速度模式的不完全消去——电离分数甚至在单个速度扰动的尺度内就发生了显著变化（Alvarez et al. 2006）。相反，"无再电离"场景没有这样的峰值，贡献在红移上分布得更加平滑，且局限于较大尺度。

[¶8] For the case of instantaneous reionization, in which the ionized fraction goes from zero to one instantaneously at some redshift \(z_*\),

\[U = U_0 + \delta(\chi - \chi_*)\,\delta(\chi' - \chi_*)\,u_0\,u_0' - 2\,\delta(\chi - \chi_*)\,u_0\,\frac{\partial u_0'}{\partial\chi'},\]

where \(U_0 \equiv (\partial u_0/\partial\chi)(\partial u_0'/\partial\chi')\). Combining equations (4), (7) and the above, the power spectrum from linear longitudinal velocity fluctuations induced by instantaneous reionization is \(C_\ell^\parallel = C_\ell^{\rm D} + C_\ell^{\rm R} - 2C_\ell^{\rm RD}\), where

\[C_\ell^{\rm D} \equiv \int d\chi \int d\chi'\,U_0(\chi,\chi')\,W_\ell(\chi,\chi'),$$ $$C_\ell^{\rm RD} \equiv u_0(z_*)\int d\chi\,\frac{\partial u_0}{\partial\chi}\,W_\ell(\chi,\chi_*),$$ $$C_\ell^{\rm R} \equiv u_0^2(z_*)\,W_\ell^*,\]

and

\[W_\ell^* = \frac{2}{\pi}\int\frac{dk}{k^2}\,P(k)\,j_\ell^2(k\chi_*).\]

[¶8 译] 对于瞬时再电离的情形（电离分数在某红移 \(z_*\) 处从 0 瞬间变为 1）：

\[U = U_0 + \delta(\chi - \chi_*)\,\delta(\chi' - \chi_*)\,u_0\,u_0' - 2\,\delta(\chi - \chi_*)\,u_0\,\frac{\partial u_0'}{\partial\chi'},\]

其中 \(U_0 \equiv (\partial u_0/\partial\chi)(\partial u_0'/\partial\chi')\)。结合公式 (4)、(7) 和上式，瞬时再电离引起的线性纵向速度涨落的功率谱为 \(C_\ell^\parallel = C_\ell^{\rm D} + C_\ell^{\rm R} - 2C_\ell^{\rm RD}\)，其中：

• \(C_\ell^{\rm D}\)：Doppler 项——来自增长的速度涨落（\(x\) 恒定时）
• \(C_\ell^{\rm RD}\)：再散射-Doppler 交叉项
• \(C_\ell^{\rm R}\)：再散射面项——速度涨落投影到 \(z_*\) 再散射面上

[¶9] The term \(C_\ell^{\rm R}\) corresponds to velocity fluctuations projected onto the re-scattering surface at \(z_*\), while \(C_\ell^{\rm D}\) corresponds to fluctuations produced from growing velocity fluctuations, i.e. when \(x\) is constant and density peaks correspond to hot spots. Shown in Figure 2 is the angular power spectrum for instantaneous reionization at \(z_* = 10\), for which \(\tau_{\rm es} \simeq 0.09\). A broad peak is evident at \(\ell \sim 20\)–\(30\), with the re-scattering surface term, \(C_\ell^{\rm R}\), dominating over the other terms for \(\ell \gtrsim 10\).

[¶9 译] \(C_\ell^{\rm R}\) 项对应速度涨落投影到 \(z_*\) 处再散射面上的贡献，而 \(C_\ell^{\rm D}\) 对应增长的速度涨落产生的贡献——即 \(x\) 恒定、密度峰值对应热点（hot spots）的情形。图 2 展示了 \(z_* = 10\) 处瞬时再电离的角功率谱，对应 \(\tau_{\rm es} \simeq 0.09\)。在 \(\ell \sim 20\)–\(30\) 处有一个宽峰，再散射面项 \(C_\ell^{\rm R}\) 在 \(\ell \gtrsim 10\) 时主导其他项。

[¶10] Shown in Figure 3 are the angular power spectra obtained for \(z_r = 10\) and \(\Delta z = 0.1\), 1, and 2. All three reionization histories lead to a broad peak at \(\ell \sim 20\)–\(30\), with amplitudes that depend strongly on the duration of reionization. There is a small variation due to changes in the background cosmology. The WMAP 2013 curves are slightly higher for \(\ell \lesssim 200\), due at least in part to the slightly redder tilt, \(n_s = 0.96\) versus \(n_s = 0.967\) in Planck 2015. The strength of the fluctuations is also linearly dependent on \(\Omega_m h^2\) and \(\sigma_8^2\), which reflect the strength of the velocity at fixed perturbation amplitude, and the amplitude of perturbations, respectively.

[¶10 译] 图 3 展示了 \(z_r = 10\)、\(\Delta z = 0.1\), 1, 2 三种再电离历史对应的角功率谱。三者都在 \(\ell \sim 20\)–\(30\) 处产生宽峰，振幅强烈依赖再电离持续时间。背景宇宙学参数的变化引起小幅差异：WMAP 2013 曲线在 \(\ell \lesssim 200\) 处略高，至少部分由于稍红的谱指数（\(n_s = 0.96\) vs. Planck 2015 的 \(n_s = 0.967\)）。涨落强度还线性依赖于 \(\Omega_m h^2\)（反映固定扰动振幅下的速度强度）和 \(\sigma_8^2\)（反映扰动振幅本身）。

[¶11] The latest results from the Planck Collaboration indicate a value of \(\tau = 0.066 \pm 0.013\) at 1\(\sigma\) for the "Planck TT+lowP+lensing+BAO" data combination, with a 2\(\sigma\) upper-limit of \(\tau = 0.092\). When the Planck temperature and polarization data are considered without lensing ("Planck TT+lowP") the constraint changes to \(\tau = 0.078 \pm 0.019\), implying a 2\(\sigma\) upper-limit of \(\tau = 0.116\). The strong dependence of the large-scale signal on optical depth is shown in Figure 4, where the peak amplitude of the angular power spectrum, \(\ell_{\rm pk}^2 C_\ell^{\rm pk}/(2\pi)\), is plotted versus \(\tau\) for the two fiducial cosmologies calculated. For currently favoured values of \(\tau \sim 0.07\)–\(0.08\), the peak values are \(\sim 15\)–\(20\ \mu\text{K}^2\), while for \(\tau = 0.15\) the peak amplitude is expected to lie in the range \(60\)–\(70\ \mu\text{K}^2\). Its dependence on \(\tau\) is approximated with a nearly quadratic function,

\[\frac{\ell_{\rm pk}^2 C_\ell^{\rm pk}}{2\pi} \simeq 30\ \mu\text{K}^2 \left(\frac{\tau}{0.1}\right)^{1.9},\]

shown as the dashed line in Figure 4. This is quite close to the simple scaling relationship given by Kaiser (1984), \(C_\ell \simeq \langle v^2\rangle\,\tau^2\), just slightly shallower. This is consistent with \(\langle v^2\rangle\) having a weak inverse dependence on \(\tau\), since higher \(\tau\) corresponds to somewhat higher redshifts, when the linear velocity perturbations are smaller.

[¶11 译] Planck 合作组最新结果给出"Planck TT+lowP+lensing+BAO"数据组合下 \(\tau = 0.066 \pm 0.013\)（1\(\sigma\)），2\(\sigma\) 上限 \(\tau = 0.092\)。不含 lensing 时（"Planck TT+lowP"），约束变为 \(\tau = 0.078 \pm 0.019\)，2\(\sigma\) 上限 \(\tau = 0.116\)。图 4 展示了大尺度信号对光学深度的强依赖：角功率谱峰值振幅 \(\ell_{\rm pk}^2 C_\ell^{\rm pk}/(2\pi)\) 对 \(\tau\) 作图。对于当前偏好的 \(\tau \sim 0.07\)–\(0.08\)，峰值为 \(\sim 15\)–\(20\ \mu\text{K}^2\)；\(\tau = 0.15\) 时峰值预计在 \(60\)–\(70\ \mu\text{K}^2\)。其对 \(\tau\) 的依赖近似为近二次函数：

\[\frac{\ell_{\rm pk}^2 C_\ell^{\rm pk}}{2\pi} \simeq 30\ \mu\text{K}^2 \left(\frac{\tau}{0.1}\right)^{1.9},\]

这与 Kaiser (1984) 给出的简单标度关系 \(C_\ell \simeq \langle v^2\rangle\,\tau^2\) 非常接近，只是稍浅。这与 \(\langle v^2\rangle\) 对 \(\tau\) 有微弱的反依赖一致——更高的 \(\tau\) 对应稍高的红移，此时线性速度扰动更小。

Faithful Paraphrase

§2.2 的核心问题：在线性理论下，Doppler 效应的角功率谱长什么样？它怎么依赖再电离历史？

1. 用线性扰动论把速度写成密度的函数 \(\mathbf{v} \propto \delta\,\mathbf{k}/k^2\)，代入 §2.1 的通用公式，得到纵向功率谱 \(F_\ell^\parallel = U \cdot W_\ell\)。关键量 \(u(z) = g(z)\dot{D}/D/(1+z)\) 同时编码了可见度和速度增长。[重述]

2. 再电离 vs. 恒定电离：关键差异在于再散射面。再电离时 \(x(z)\) 急剧变化 → \(u(z)\) 的导数在 \(z_r\) 处出现尖峰 → Doppler 信号集中在 \(z \sim z_r\)（"不完全消去"）。恒定电离无此峰。[原文]

3. 瞬时再电离分解：\(C_\ell^\parallel = C_\ell^{\rm D} + C_\ell^{\rm R} - 2C_\ell^{\rm RD}\)。再散射面项 \(C_\ell^{\rm R}\) 在 \(\ell \gtrsim 10\) 主导。宽峰在 \(\ell \sim 20\)–\(30\)。[原文]

4. 峰值振幅 \(\propto \tau^{1.9}\)，当前 \(\tau \sim 0.07\) 时约 \(15\)–\(20\ \mu\text{K}^2\)。[原文]

Physics Meaning

• 物理图景：再电离不是瞬间发生的，\(x(z)\) 从 0 到 1 有一个转变过程。这个转变创造了一个"再散射面"——类似于原初 CMB 的最后散射面，但更厚、更近。在这个面上，速度涨落的视线消去不完全（因为 \(x\) 在一个扰动的尺度内就变化了），所以信号被放大。[原文 + 补充]
• 控制参数：\(z_r\)（再电离红移）、\(\Delta z\)（持续时间）、\(\tau\)（光学深度）。峰值强度 \(\propto \tau^{1.9}\)，对 \(\tau\) 极度敏感。
• 尺度：宽峰在 \(\ell \sim 20\)–\(30\)，对应几度的角尺度——比 patchy kSZ（\(\ell \gtrsim 300\)）大得多
• 本段推进：给出了 Doppler 功率谱的解析预测，为 §3 的数值模拟比较提供基准

Equation Notes

公式	动机（为什么写成这样）	符号表	物理含义
\(F_\ell^\parallel = U\,W_\ell\)	操作：用线性理论 \(\mathbf{v} \propto \delta\mathbf{k}/k^2\) 代入通用公式化简。形式：分成 \(U \cdot W\) 两个因子——\(U\) 只含再电离历史 \(x(z)\)，\(W\) 只含物质功率谱 \(P(k)\)，方便独立调参	\(U = (\partial u/\partial\chi)(\partial u'/\partial\chi')\)；\(W_\ell\) = \(P(k)\) 的 Bessel 积分	线性 Doppler 功率谱的被积函数
\(u(z) = g(z)\dot{D}/D/(1+z)\)	操作：把"可见度"和"速度增长率"打包成一个函数。形式：\(g\) 编码散射概率，\(\dot{D}/D/(1+z)\) 编码速度的时间增长，乘积 = "此红移处速度场产生 kSZ 信号的效率"	\(\dot{D}\)：增长因子时间导数；\(D\)：线性增长因子	速度-可见度耦合函数
\(x(z) = \frac{1}{2}[1+\tanh(...)]\)	操作：参数化再电离历史。形式：tanh 是最简单的从 0 到 1 的平滑阶跃函数，只需两个参数（中心 \(z_r\)、宽度 \(\Delta z\)）就能控制"何时再电离"和"持续多久"	\(z_r\)：中心红移；\(\Delta z\)：持续时间	解析再电离历史模型
\(C_\ell^\parallel = C_\ell^{\rm D} + C_\ell^{\rm R} - 2C_\ell^{\rm RD}\)	操作：瞬时再电离下，\(u(z)\) 的导数含一个 \(\delta\) 函数（跳变），展开后自然分出三项。形式：\(C^{\rm R}\) = 再散射面上速度的一次性投影；\(C^{\rm D}\) = 后续增长的速度贡献；\(C^{\rm RD}\) = 两者的交叉	D=Doppler；R=再散射面；RD=交叉	瞬时再电离功率谱三项分解
\(\ell_{\rm pk}^2 C_\ell^{\rm pk}/(2\pi) \simeq 30(\tau/0.1)^{1.9}\)	操作：数值拟合峰值振幅 vs. \(\tau\) 的关系。形式：接近 \(\tau^2\)（Kaiser 1984 的简单估计 \(C_\ell \sim \langle v^2\rangle\tau^2\)），略浅是因为高 \(\tau\) 对应高 \(z\)，速度更小	\(\tau\)：Thomson 光学深度	峰值振幅标度律

Consistency Check

• 原文直说：再散射面上 \(C_\ell^{\rm R}\) 主导（\(\ell \gtrsim 10\)）；峰在 \(\ell \sim 20\)–\(30\)；\(\propto \tau^{1.9}\)；WMAP vs. Planck 的 \(n_s\) 差异
• 忠实重述：\(u(z)\) "同时编码了可见度和速度增长"；再散射面类比原初 CMB 的最后散射面
• Agent 补充："再散射面"与最后散射面的类比
• 仍然模糊：\(C_\ell^\perp\)（横向分量）在 §2.2 未讨论，仅处理了 \(C_\ell^\parallel\)

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§2.3 Doppler–LSS Cross-correlation

Original Text & Literal Translation

[¶12] The kSZ-LSS cross-correlation can be understood qualitatively by examining the behavior of the quantity

\[\frac{\partial u}{\partial z} = \bar{x}\,\frac{\partial u_0}{\partial z} + u_0\,\frac{\partial\bar{x}}{\partial z},\]

since

\[\Delta T \propto \left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)\left(\frac{\partial z}{\partial\ln\chi}\right)\delta\]

for a linear density perturbation with amplitude \(\delta\) and size \(\chi\). Since in general \(\partial z/\partial\ln\chi > 0\), the sign of \(\partial u/\partial z\) determines whether a linear density enhancement appears as a hot spot or cold spot in the CMB. When \(\partial u/\partial z > 0\), the far side of a density perturbation contributes more, and peaks in the density field will appear as hot spots with \(\Delta T > 0\). This corresponds to when \(\partial x/\partial z \gtrsim 0\) as is the case during recombination or after reionization. For sufficiently short ionization histories, however, it is possible for the condition

\[u_0\,\frac{\partial\bar{x}}{\partial z} < -\bar{x}\,\frac{\partial u_0}{\partial z}\]

to be satisfied during reionization. In this case, \(\partial u/\partial z < 0\), and density enhancements will appear as cold spots, the implications of which will be further discussed in §2.4.

[¶12 译] kSZ-LSS 交叉相关可以通过考察下面这个量的行为来定性理解：

\[\frac{\partial u}{\partial z} = \bar{x}\,\frac{\partial u_0}{\partial z} + u_0\,\frac{\partial\bar{x}}{\partial z},\]

因为对一个振幅为 \(\delta\)、尺度为 \(\chi\) 的线性密度扰动，

\[\Delta T \propto \left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)\left(\frac{\partial z}{\partial\ln\chi}\right)\delta.\]

由于一般情况下 \(\partial z/\partial\ln\chi > 0\)，\(\partial u/\partial z\) 的符号决定了线性密度增强在 CMB 上表现为热点还是冷点。当 \(\partial u/\partial z > 0\) 时，密度扰动的远端贡献更大，密度峰将表现为热点（\(\Delta T > 0\)）。这对应于 \(\partial x/\partial z \gtrsim 0\) 的情况，如复合时期或再电离之后。然而，对于足够短的电离历史，有可能在再电离期间满足条件：

\[u_0\,\frac{\partial\bar{x}}{\partial z} < -\bar{x}\,\frac{\partial u_0}{\partial z}.\]

此时 \(\partial u/\partial z < 0\)，密度增强将表现为冷点，其含义将在 §2.4 中进一步讨论。

[¶13] Any arbitrary large-scale linearly biased tracer of the matter density can be written as

\[f(\hat{\boldsymbol{\gamma}}) = \int dz\,\frac{d\chi}{dz}\,w(z)\left[b(z)\,\delta(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}}) - \frac{1+z}{H(z)}\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial\chi}\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}}\right],\]

where \(b(z)\) is the linear bias and \(w(z)\) is the redshift weighting. The second factor accounts for the redshift-space distortion in the linear regime (Kaiser 1987). The cross-correlation between \(f(\hat{\boldsymbol{\gamma}})\) and \(\Delta T(\hat{\boldsymbol{\gamma}})/T\) is (see derivation of equation in the Appendix)

\[C_\ell^{fT} = \frac{2}{\pi}\int d\chi\,w(z)\int d\chi'\,\frac{\partial u'}{\partial\chi'}\int dk\,P(k)\left[b(z)\,j_\ell(k\chi) - \frac{f}{k^2}\frac{\partial^2 j_\ell(k\chi)}{\partial\chi^2}\right]j_\ell(k\chi').\]

[¶13 译] 任意大尺度线性偏置的物质密度示踪体可以写为：

\[f(\hat{\boldsymbol{\gamma}}) = \int dz\,\frac{d\chi}{dz}\,w(z)\left[b(z)\,\delta(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}}) - \frac{1+z}{H(z)}\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial\chi}\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}}\right],\]

其中 \(b(z)\) 是线性偏置，\(w(z)\) 是红移权重。第二项考虑了线性机制下的红移空间畸变（Kaiser 1987）。\(f(\hat{\boldsymbol{\gamma}})\) 与 \(\Delta T(\hat{\boldsymbol{\gamma}})/T\) 的交叉相关为（推导见附录）：

\[C_\ell^{fT} = \frac{2}{\pi}\int d\chi\,w(z)\int d\chi'\,\frac{\partial u'}{\partial\chi'}\int dk\,P(k)\left[b(z)\,j_\ell(k\chi) - \frac{f}{k^2}\frac{\partial^2 j_\ell(k\chi)}{\partial\chi^2}\right]j_\ell(k\chi').\]

Faithful Paraphrase

§2.3 回答的问题：kSZ 信号和大尺度结构示踪体（如 21 cm、星系巡天）的交叉相关是什么符号？密度峰是热点还是冷点？

1. 关键在 \(\partial u/\partial z\) 的符号。\(u = u_0 \cdot x\)，所以 \(\partial u/\partial z\) 有两项：一项来自速度增长（\(u_0\) 随 \(z\) 的变化），一项来自电离演化（\(\partial x/\partial z\)）。[重述]

2. 再电离之后 \(x\) 恒定 → \(\partial x/\partial z = 0\) → \(\partial u/\partial z > 0\) → 密度峰 = 热点。但再电离期间 \(x\) 急剧增长（\(\partial x/\partial z < 0\)，因为 \(z\) 减小时 \(x\) 增大），如果这项足够大就能翻转符号 → 密度峰 = 冷点。[原文]

3. 给出了与任意线性偏置示踪体的交叉相关公式 \(C_\ell^{fT}\)，包含了红移空间畸变修正。[原文]

Physics Meaning

• 核心物理：为什么密度增强会变成冷点？——光子穿过一个高密度区时，近端电子朝观测者运动（蓝移），远端远离观测者（红移）。如果电离均匀，远端贡献略大（因为光学深度在远端积累更多）→ 净红移 → 冷点... 但等等，原文说 \(\partial u/\partial z > 0\) 时远端贡献大 → 热点。这是因为 \(u\) 的导数包含了速度增长和可见度的联合效应。[补充]
• 再电离期间，\(x\) 的急剧变化（\(\partial\bar{x}/\partial z\) 项）可以翻转 \(\partial u/\partial z\) 的符号——电离的快速演化覆盖了速度增长，使得密度增强 → 冷点。这是再电离独有的特征。[原文]
• 诊断价值：如果在 CMB-21cm 交叉相关中看到反相关（冷点对应密度峰），就是再电离信号的直接证据。[补充]
• 本段推进：为 §2.4（单个 HII 区的冷点估计）和 §4（可探测性）提供了物理基础

Equation Notes

公式	动机（为什么写成这样）	符号表	物理含义
\(\partial u/\partial z = \bar{x}(\partial u_0/\partial z) + u_0(\partial\bar{x}/\partial z)\)	操作：对 \(u = u_0 x\) 用乘法法则求导。形式：分成两项——第一项是"速度增长"，第二项是"电离演化"。两项竞争决定符号：正 = 热点，负 = 冷点	\(\bar{x}\)：平均电离分数；\(u_0 = g_0\dot{D}/D/(1+z)\)	密度峰热/冷判据
\(\Delta T \propto (\partial u/\partial z)(\partial z/\partial\ln\chi)\,\delta\)	操作：估计一个线性密度扰动 \(\delta\) 产生多大的温度偏移。形式：温度 = "\(u\) 的变化率" × "红移-距离换算" × "扰动振幅"——三个因子分别决定消去程度、几何和信号强度	\(\delta\)：密度扰动振幅	温度对密度的线性响应
\(C_\ell^{fT}\)	操作：计算 kSZ 与任意 LSS 示踪体的交叉功率谱。形式：示踪体含两项——真实密度 \(b\delta\)（偏置加权）和红移空间畸变修正 \(\propto \partial v/\partial\chi\)（Kaiser 1987），与 kSZ 的 \(\partial u/\partial\chi\) 做交叉相关	\(b(z)\)：线性偏置；\(w(z)\)：权重	kSZ-LSS 交叉功率谱

Consistency Check

• 原文直说：\(\partial u/\partial z\) 符号决定热/冷点；再电离后密度峰=热点；再电离期间可以翻转为冷点；交叉相关公式含红移空间畸变
• 忠实重述：\(u\) 的两项分别来自速度增长和电离演化
• Agent 补充：反相关作为再电离的直接诊断证据
• 仍然模糊：未给出 \(C_\ell^{fT}\) 的数值结果（图 5 未在正文中详细讨论）

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§2.4 Doppler Effect from a Single Perturbation

Original Text & Literal Translation

[¶14] Consider a uniform density perturbation with amplitude \(\delta_*\) at some redshift \(z_*\), located at a comoving distance \(\chi_* \equiv \chi(z_*)\) from the observer along the direction \(\hat{\boldsymbol{\gamma}}_*\), with comoving radius \(R_*\). On scales much smaller than the horizon, we can treat cosmological evolution to first order in conformal time across the perturbation. The observer will see a temperature fluctuation along the line of sight given by

\[\frac{\Delta T_*}{T_{\rm cmb}} = -\int_{\chi_*-R_*}^{\chi_*+R_*} d\chi\,g_0(z)\,x(z)\,\mathbf{v}(\chi\hat{\boldsymbol{\gamma}}_*)\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}}_* \approx -\int_{-R_*}^{R_*} dR\,(g_* + R\,g_*')\,x(z)\,\mathrm{v}_\gamma(R),\]

where \(\mathrm{v}_\gamma(R) = \mathbf{v}([\chi_* + R]\hat{\boldsymbol{\gamma}}_*)\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}}_*\), \(g_* \equiv g_0(z_*)\), and \(g_*' \equiv dg_0(z_*)/d\chi\).

[¶14 译] 考虑一个在红移 \(z_*\) 处、振幅为 \(\delta_*\)、共动半径为 \(R_*\) 的均匀密度扰动，位于距观测者共动距离 \(\chi_* \equiv \chi(z_*)\) 的方向 \(\hat{\boldsymbol{\gamma}}_*\) 上。在远小于视界的尺度上，可以在共形时间上对宇宙学演化做一阶展开。观测者将沿视线看到温度涨落：

\[\frac{\Delta T_*}{T_{\rm cmb}} \approx -\int_{-R_*}^{R_*} dR\,(g_* + R\,g_*')\,x(z)\,\mathrm{v}_\gamma(R),\]

其中 \(\mathrm{v}_\gamma(R) = \mathbf{v}([\chi_* + R]\hat{\boldsymbol{\gamma}}_*)\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}}_*\) 是视线方向 peculiar velocity，\(g_* \equiv g_0(z_*)\)，\(g_*' \equiv dg_0(z_*)/d\chi\)。

[¶15] To obtain the component of the peculiar velocity along the line of sight, one can assume the perturbation has a small amplitude, \(\delta \ll 1\). Using linear theory in a matter dominated universe, \(\nabla\cdot\mathbf{v} = -\dot{\delta}/(1+z) = -\delta(\dot{D}/D)/(1+z)\), one obtains

\[\mathrm{v}_\gamma(R) = -\frac{\dot{D}(z)}{3D(z)(1+z)}\,\delta_*\,R \approx -\frac{\delta_*}{3}\left(\mathcal{D}_* + R\,\mathcal{D}_*'\right),\]

where \(\mathcal{D}(z) = \dot{D}/D/(1+z)\), and \(\mathcal{D}' = d\mathcal{D}/d\chi\). The assumption that the perturbation itself is at rest with respect to the CMB is likely to be a good approximation on large scales, and certainly true on average. Thus, photons scattered into the line of sight on the near side of the perturbation, with \(\chi < \chi_*\), experience a redshift, \(\mathbf{v}\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}} > 0\), and the temperature fluctuation is given by

\[\frac{\Delta T_*}{T_{\rm cmb}} = \frac{\delta_*}{3}\int_{-R_*}^{R_*} dR\,(g_* + R\,g_*')(\mathcal{D}_* + R\,\mathcal{D}_*')\,x(R)\,R.\]

[¶15 译] 为获得视线方向 peculiar velocity，假设扰动振幅小（\(\delta \ll 1\)）。在物质主导的宇宙中用线性理论，\(\nabla\cdot\mathbf{v} = -\dot{\delta}/(1+z) = -\delta(\dot{D}/D)/(1+z)\)，得到：

\[\mathrm{v}_\gamma(R) = -\frac{\dot{D}(z)}{3D(z)(1+z)}\,\delta_*\,R \approx -\frac{\delta_*}{3}\left(\mathcal{D}_* + R\,\mathcal{D}_*'\right),\]

其中 \(\mathcal{D}(z) = \dot{D}/D/(1+z)\)，\(\mathcal{D}' = d\mathcal{D}/d\chi\)。假设扰动本身相对 CMB 静止，这在大尺度上是一个好的近似，平均而言肯定成立。因此，在扰动近端（\(\chi < \chi_*\)）被散射进视线的光子经历红移（\(\mathbf{v}\cdot\hat{\boldsymbol{\gamma}} > 0\)），温度涨落为：

\[\frac{\Delta T_*}{T_{\rm cmb}} = \frac{\delta_*}{3}\int_{-R_*}^{R_*} dR\,(g_* + R\,g_*')(\mathcal{D}_* + R\,\mathcal{D}_*')\,x(R)\,R.\]

[¶16] The largest possible kSZ effect arising from the perturbation occurs if it is ionized at \(z_*\) on a timescale much shorter than its light-crossing time. Such a condition does not violate causality, because reionization is a locally driven process until percolation. In this case, the ionized fraction changes from zero to one very nearly instantaneously and the ionized fraction along the line of sight is \(x \sim 1\) for \(R < 0\) and \(x = 0\) otherwise, so that to leading order in \(R_*\), the equation simplifies to

\[\frac{\Delta T_*}{T_{\rm cmb}} \approx \frac{g_*\,\mathcal{D}_*\,\delta_*}{3}\int_{-R_*}^{0} R\,dR = -\frac{g_*\,\mathcal{D}_*\,\delta_*\,R_*^2}{6},\]

and the associated temperature fluctuation is

\[\Delta T_* \approx -10\ \mu\text{K}\left(\frac{\delta_*}{10^{-2}}\right)\left(\frac{1+z_*}{16}\right)^{5/2}\left(\frac{R_*}{200\ \text{Mpc}}\right)^2,\]

where matter domination during reionization has been used. Because rapidly expanding H II regions are expected to be in highly-biased overdense regions, with \(\delta > 0\), cold spots are a generic imprint from early, rare H II regions.

[¶16 译] 扰动产生的最大 kSZ 效应发生在它在 \(z_*\) 被电离的时标远短于其光穿越时间的情况下。这一条件不违反因果律，因为在渗流（percolation）之前再电离是一个局域驱动的过程。此时电离分数几乎瞬间从 0 变为 1，沿视线的电离分数为 \(x \sim 1\)（\(R < 0\)，即近端）和 \(x = 0\)（其他位置），在 \(R_*\) 的最低阶下方程简化为：

\[\frac{\Delta T_*}{T_{\rm cmb}} \approx -\frac{g_*\,\mathcal{D}_*\,\delta_*\,R_*^2}{6},\]

对应的温度涨落为：

\[\Delta T_* \approx -10\ \mu\text{K}\left(\frac{\delta_*}{10^{-2}}\right)\left(\frac{1+z_*}{16}\right)^{5/2}\left(\frac{R_*}{200\ \text{Mpc}}\right)^2.\]

其中使用了再电离期间物质主导的近似。由于快速膨胀的 HII 区预期位于高偏置的高密度区域（\(\delta > 0\)），冷点是早期稀有 HII 区的普遍特征。

Faithful Paraphrase

§2.4 回答的问题：一个孤立的、刚被电离的 HII 区会在 CMB 上留下多大的温度涨落？是热点还是冷点？

1. 构造一个球形均匀密度扰动（\(\delta_*\), \(R_*\), \(z_*\)），用线性理论算它内部的 peculiar velocity：\(v \propto -\delta_* R\)（指向中心的引力坍缩流）。[重述]

2. 近端光子（\(R < 0\)，比扰动中心更靠近观测者）：电子远离观测者 → 散射光子红移（\(\Delta T < 0\)）。远端光子（\(R > 0\)）：电子朝向观测者 → 蓝移（\(\Delta T > 0\)）。如果电离均匀，两端部分抵消。[补充]

3. 关键情境：HII 区只电离了近端（\(x = 1\) for \(R < 0\)），远端尚未电离（\(x = 0\)）。这样只保留了近端的红移贡献 → 净冷点。\(\Delta T \approx -10\ \mu\text{K}\)（\(\delta = 0.01\), \(z = 15\), \(R = 200\) Mpc）。[原文]

4. 这给出了一个观测预言：再电离早期、在密度峰处形成的大 HII 区，会在 CMB 上产生 \(\sim \mu\)K 量级的冷点。这是 patchy 再电离的非高斯特征。[原文 + 补充]

Physics Meaning

• 物理图景：想象宇宙中一个大的高密度区——物质向中心塌缩，四周电子有径向 peculiar velocity。一个 UV 源在中心点亮，HII 区开始向外扩展。在某个瞬间，近端已被电离（电子可以散射 CMB 光子），远端还是中性的（透明）。近端电子运动方向恰好远离观测者 → 红移 → 冷点。远端还没电离 → 没有贡献 → 没有蓝移来抵消 → 净冷点。[补充]
• 尺度估计：\(R \sim 200\) Mpc 对应角尺度 \(\theta \sim 1°\)–\(2°\)（\(\ell \sim 100\)–\(200\)）；\(\Delta T \sim -10\ \mu\text{K}\) 虽小但可能通过叠加或交叉相关检测
• 控制参数：\(\delta_* \propto \Delta T\)（线性）；\(R_*^2 \propto \Delta T\)（二次）；\((1+z)^{5/2} \propto \Delta T\)——早期（高 \(z\)）、大（\(R\)）、高密度的 HII 区信号最强
• 本段推进：为 §3 和 §4 中模拟地图上的冷点识别提供解析基准

Equation Notes

公式	动机（为什么写成这样）	符号表	物理含义
\(\Delta T_*/T = -\int dR\,(g_*+Rg_*')\,x\,\mathrm{v}_\gamma\)	操作：把通用 kSZ 积分 (Eq.3) 具体化到一个局域球形扰动。形式：把 \(g\) 和速度在扰动中心展开到一阶（\(g_* + Rg_*'\)），积分范围限于 \([-R_*, R_*]\)	\(g_*\)：\(z_*\) 处可见度；\(\mathrm{v}_\gamma\)：视线 peculiar velocity	单个扰动的 kSZ（通用）
\(\mathrm{v}_\gamma = -(\delta_*/3)(\mathcal{D}_* + R\mathcal{D}_*')\)	操作：用线性理论算球形均匀扰动内部的速度场。形式：\(\nabla\cdot\mathbf{v} = -\dot{\delta}/(1+z)\)，球对称下 \(v \propto R\)——离中心越远速度越大（均匀坍缩流）	\(\mathcal{D} = \dot{D}/D/(1+z)\)	球形扰动内的径向速度
\(\Delta T_* \approx -g_*\mathcal{D}_*\delta_* R_*^2/6 \cdot T_{\rm cmb}\)	操作：极端情况——只有近端被电离（\(x=1\) for \(R<0\)，\(x=0\) for \(R>0\)）。形式：积分只在 \([-R_*,0]\) 上有贡献，\(\int_{-R}^0 R\,dR = -R^2/2\)，所以结果 \(\propto R_*^2\)（面积效应）且为负号（冷点）	—	瞬时电离近端 → 冷点
\(\Delta T_* \approx -10\ \mu\text{K}\,(...)\)	操作：代入典型参数给出数量级估计。形式：写成标度律让你直接看到哪个参数影响最大——\(R_*^2\)（二次，尺度最敏感）、\((1+z)^{5/2}\)（红移强依赖）、\(\delta_*\)（线性）	—	典型冷点 \(\sim 10\ \mu\)K

Consistency Check

• 原文直说：瞬时电离不违反因果律（局域驱动）；\(\Delta T \approx -10\ \mu\)K 的数值估计；冷点是早期稀有 HII 区的普遍特征
• 忠实重述：近端红移/远端蓝移的消去图景；只有近端电离时净效应为冷点
• Agent 补充：将冷点与 patchy 再电离的非高斯特征联系起来；角尺度估计 \(\theta \sim 1°\)–\(2°\)
• 仍然模糊：扰动"相对 CMB 静止"的假设在多大尺度上成立？原文只说"likely a good approximation on large scales"