Patchy Screening of the CMB from Dark Photons — 图表版¶
13 张图 + 1 张 noise table + 1 张 scaling table。逐图解释"图在告诉你什么 / 怎么读 / 物理图景"。
Figure 1 — Halo 几何示意图¶
[原文 §2.2 + caption Fig.~halodiagram] 一个 dark matter halo 的中心位于观测者天空上 \((\chi_i,\hat n_i)\)。photon 沿 \(\hat n\) 进入晕，路径 \(r(t)\) 与晕中心存在最小距离 \(r_{\min}=\chi_i\theta/(1+z_i)\)；当 \(r=r_{\rm res}\) 满足 \(m_\gamma^2(r_{\rm res})=m_{\rm A^\prime}^2\) 时，photon 在 shell 上以共振方式转换 \(\to\rm A^\prime\)。每条轨迹与共振 shell 有 两次 交点（进 + 出）。
怎么读： - 蓝色 shell = \(r_{\rm res}\)，深色 shell = \(r_{\rm vir}\)（halo 外边界）。 - 转换概率分成径向 \(P(\chi,m)\)（依赖 \(d\rho/dr|_{r_{\rm res}}\)）和角向 \(u(\hat n-\hat n_i|\chi,m)\)（描述 photon 在 shell 内停留的几何长度，对 \(\theta\to(1+z_i)r_{\rm res}/\chi_i\) 处发散但积分收敛）。
物理直觉：每个晕都是一面"暗光镜"，其反射率（吸收概率）由 shell 处的 gas 密度梯度倒数决定——梯度越缓，photon 在 shell 内走得越久，转换越多。
Figure 2 — 微分单极 \(d\bar\eta/dz\)¶
[原文 §3, label fig:dtaudz] 对应 Eq.4.5。横坐标红移 \(z\in[0,6]\)，纵坐标 \(d\bar\eta/dz\)（dimensionful optical depth 的红移微分），不同曲线对应不同 \(m_{\rm A^\prime}\in[10^{-13.5},10^{-11.5}]\) eV。
怎么读： - 轻 dark photon（蓝）：信号集中在 低红移 \(z<2\)，这些质量只在 halo 外围低密度区共振——曲线被 \(r_{\rm vir}\) 硬截断，\(z\to 0\) 突降。 - 重 dark photon（红）：信号在所有 \(z\) 都有贡献，但需要找到核心高密度的大晕——曲线低且平。 - 峰在 \(m_{\rm A^\prime}\sim 6\times 10^{-13}\) eV，对应 \(z\sim 0\)–\(2\) 的"sweet spot"。
物理直觉：低质量 = scanner 靠"halo 外缘 + 数量多的小晕"；高质量 = 靠"少数巨晕的核心"。前者跟 LSS 模板相关性最强（因为大量小晕跟踪 LSS），所以 template cross-correlation 在低 \(m_{\rm A^\prime}\) 表现最好。
Figure 3 — 单极 \(\bar\eta(m_{\rm A^\prime})\) + 银河系贡献¶
[原文 §3.1, label fig:monopole] 横坐标 \(m_{\rm A^\prime}\in[10^{-13},10^{-11}]\) eV（log），纵坐标 \(\bar\eta\,[{\rm eV}]\)（dimensionful：\(\bar\tau=\bar\eta\,\varepsilon^2/\omega\)）。
怎么读： - 蓝色：河外贡献 \(\bar\eta(m_{\rm A^\prime})\)，钟形，峰在 \(m_{\rm A^\prime}\sim 6\times 10^{-13}\) eV，峰值 \(\sim 10^{4}\) eV。 - 黑色：银河系本地 \(\eta^{\rm MW}\)（Battaglia gas + Posti+19 \(r_{\rm vir}^{\rm MW}, m^{\rm MW}\)）—— 全质量段都比河外低。 - 两条蓝色细线（\(z^{\rm reio}=6\) vs \(10\)）几乎重合，说明再电离细节不影响。
为什么钟形： - 左侧（轻）：\(m_{\rm A^\prime}\to 0\) 时 \(r_{\rm res}\to r_{\rm vir}\)，硬截断把所有共振排出 → \(\bar\eta\to 0\)。 - 右侧（重）：\(m_{\rm A^\prime}\to 10^{-11}\) eV 时只有 \(\rho_{\rm gas}\) 大于阈值的最重最稀有的晕能贡献，halo mass function \(n(z,m)\propto \exp(-m/M_*)\) 砍掉。
重要：这个 \(\bar\eta\) 直接决定所有灵敏度曲线的 mass-shape——Fig.~6 contour 的山谷形状基本就是 \(\bar\eta^{-1/2}\)（auto）或 \(\bar\eta^{-1/4}\)（template）的轮廓。
Figure 4 — Dark screening 角功率谱 \(C_\ell^{\delta\tau\delta\tau}\)¶
[原文 §4.1, label fig:Cells] 双面板。横坐标 \(\ell\)，纵坐标 \(C_\ell^{\delta\tau\delta\tau}\)（无量纲，已除以 \(\bar\tau^2\)）。
左面板：1-halo 项 vs (1-halo + 2-halo) 之比，对每个 \(m_{\rm A^\prime}\) 都画一条。 - 大 \(\ell\)（小尺度）：1-halo 主导（晕内结构）。 - 小 \(\ell\)（大尺度）：2-halo 主导（晕之间的线性聚集）。 - 高 \(m_{\rm A^\prime}\) 时两项可比，谱接近 scale-invariant。
右面板：4 个 \(m_{\rm A^\prime}\) 的总 \(C_\ell^{\delta\tau\delta\tau}\) 形状对比——不同 mass 的 shape 差异主要来自 \(r_{\rm res}\) 在 halo 内的位置不同。
关键启示： - 高 \(m_{\rm A^\prime}\) 时，虽然单极 \(\bar\eta\) 小（Fig.~3 右侧下降），但小尺度功率多，\(C_\ell^{\tau\tau}\) 在 SNR 上对约束 \(\varepsilon\) 的贡献其实不输低 mass——这是高 \(m_{\rm A^\prime}\) 还能被 CMB-HD 探测的物理原因。
Figure 5 — Thomson + dark + cross 的对比¶
[原文 §4.1, label fig:screening_corrs] 固定 \(m_{\rm A^\prime}=6\times 10^{-13}\) eV、\(\varepsilon=10^{-6}\)、\(\omega=30\) GHz，画三条角功率谱 + 一条组合：
- 蓝：\(C_\ell^{\tau^{\rm Th}\tau^{\rm Th}}\)（Thomson）— \(\varepsilon\) 无关；
- 橙：\(C_\ell^{\tau\tau}\)（dark）— \(\propto\varepsilon^4\)；
- 绿：\(C_\ell^{\tau\tau^{\rm Th}}\)（cross）— \(\propto\varepsilon^2\)；
- 粉：\((C_\ell^{\tau\tau^{\rm Th}})^2/C_\ell^{\tau\tau}\) 的 \(\varepsilon\) 无关组合（用于 bispectrum 灵敏度的核心）。
怎么读： - 在选定的 \(\varepsilon=10^{-6}\) 下，\(C_\ell^{\tau\tau^{\rm Th}}>C_\ell^{\tau\tau}\)（因为 \(\varepsilon^2>\varepsilon^4\) 时）—— 这就是为什么 cross-correlation 比 auto 在小 \(\varepsilon\) 下灵敏度更高。 - transition 点：\(\varepsilon\sim\sqrt{C_\ell^{\tau\tau^{\rm Th}}/C_\ell^{\tau\tau}}\)，在 \(7\times 10^{-7}\) 量级。
物理直觉：dark + Thomson 都跟踪同一个电子分布，必然有正相关；但 dark 多了频率指纹，可以分离。
Figure 6 — FIRAS 排除区¶
[原文 §6.1, label fig:FIRASexclusion] \((\varepsilon, m_{\rm A^\prime})\) 平面上 95% / 99% CL contour（两者重合度高 → 拟合 robust）。横轴 \(m_{\rm A^\prime}\in[10^{-13},10^{-11}]\) eV。
怎么读： - 在 dark photon mass sweet spot \(m_{\rm A^\prime}\sim 6\times 10^{-13}\) eV 处约束最强，\(\varepsilon\lesssim 10^{-6}\)。 - 包括 MW 贡献 \(\bar\tau+\tau^{\rm MW}\)（用 Battaglia 模型）。 - 与 Caputo+20、Mirizzi+09 用相同方法的限制基本一致——这是本文方法论的 sanity check。
物理意义：现有最强的 ultra-light dark photon 限制基线，下面所有"提升"都是相对于这条线的。
Table 1 — Noise model¶
[原文 §6.2, label tab:noisemodel] 三个子表：
(a) Planck (LFI + HFI)¶
| Frequency (GHz) | 30 | 44 | 70 | 100 | 143 | 217 | 353 | 545 | 857 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\Delta_T\) (\(\mu\)K-arcmin) | 195.1 | 226.1 | 199.1 | 77.4 | 33.0 | 46.8 | 153.6 | 818.2 | 40090.7 |
| \(\theta_{\rm FWHM}\) (arcmin) | 32.41 | 27.1 | 13.32 | 9.69 | 7.3 | 5.02 | 4.94 | 4.83 | 4.64 |
(b) CMB-S4 (V3R0)¶
| Frequency (GHz) | 20 | 27 | 39 | 93 | 145 | 225 | 278 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\Delta_T\) (\(\mu\)K-arcmin) | 10.41 | 5.14 | 3.28 | 0.50 | 0.46 | 1.45 | 3.43 |
| \(\theta_{\rm FWHM}\) (arcmin) | 11.0 | 8.4 | 5.8 | 2.5 | 1.6 | 1.1 | 1.0 |
(c) CMB-HD¶
| Frequency (GHz) | 30 | 40 | 90 | 150 | 220 | 280 | 350 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\Delta_T\) (\(\mu\)K-arcmin) | 6.5 | 3.4 | 0.7 | 0.8 | 2.0 | 2.7 | 100.0 |
| \(\theta_{\rm FWHM}\) (arcmin) | 1.25 | 0.94 | 0.42 | 0.25 | 0.17 | 0.13 | 0.11 |
关键：\(\theta_{\rm FWHM}\) 决定 \(\ell_{\max}\)；S4/HD 加上 red noise \((\ell/\ell_{\rm knee})^{\alpha_{\rm knee}}\)，\(\ell_{\rm knee}=100\), \(\alpha_{\rm knee}=-3\)（地基大尺度大气噪声）。
Figure 7 — ILC weights for CMB-S4¶
[原文 §6.2, label fig:weights] 每个 frequency channel 在不同 \(\ell\) 下的 ILC 权重 \(w_\ell(\nu)\)（Eq.6.8）。
怎么读： - 大尺度（\(\ell\sim 100\)）：93/145 GHz（最低噪声）权重最大且为正——它们是黑体 CMB 的"基准"；其他通道权重负 / 小 → 用来减去黑体。 - 高 \(\ell\)：随着 beam 退化，weights 逐渐转向 27/39 GHz（低频，dark screening 信号最强 \(\propto\omega^{-1}\)）。 - 总和：\(\sum_i w_i\equiv 1\)（保留 dark screening 信号的归一约束）。
物理直觉：ILC 在每个 \(\ell\) 自适应找最优的多频组合 → 既减黑体又留 dark screening。
Figure 8 — 各种 \(C_\ell\) 与噪声对比¶
[原文 §6.2, label fig:scalecomp] 多 panel：固定 \(m_{\rm A^\prime}=10^{-12}\) eV，对 \(T,E\) 模式分别画 \(C_\ell^{X^{\rm Sc}X^{\rm Sc}}, C_\ell^{X^{\rm dSc}X^{\rm dSc}}, C_\ell^{X^{\rm Sc}X^{\rm dSc}}\) 与 ILC residual + 各通道仪器噪声。每 panel 不同 \(\varepsilon\)。
怎么读： - 橙色 = \(C_\ell^{T^{\rm dSc}T^{\rm dSc}}\propto\varepsilon^4\)（被 \(\bar T^2\) 放大）：最大； - 粉色 = \(C_\ell^{T^{\rm Sc}T^{\rm Sc}}\)：仅 \(\tau^{\rm Th}\sim 10^{-3}\) 阶； - 绿色 = \(C_\ell^{T^{\rm Sc}T^{\rm dSc}}\propto\varepsilon^2\)：在 \(\varepsilon\sim 8\times 10^{-11}\) 时与橙色相交（temperature），在 EE 上 \(\varepsilon\sim 7\times 10^{-7}\) 相交。 - 蓝色 = lensed CMB 主信号；紫色 = ILC 残余噪声 \(\tilde N_\ell^{T^{\rm dSc}T^{\rm dSc}}\)；点线 = 各通道 \(N_\ell(\omega)\)。
关键观察：紫色 ILC 残余在高 \(\ell\) 比所有单通道仪器噪声都低 → ILC 的"减黑体 + 平均噪声"机制有效。
Table 2 — 各 correlation function 的 \(\varepsilon\) scaling¶
[原文 §6, label table:correlation] 摘要表：
| Correlator | \(\varepsilon\) | \(C_\ell^{TT}\) | \(\tau^{\rm Th}\) | \(C_\ell^{EE}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\langle T^{\rm dSc}\rangle\) | 2 | 0 | 0 | – |
| \(\langle T^{\rm Sc}T^{\rm Sc}\rangle\) | 0 | 1 | 2 | – |
| \(\langle T^{\rm dSc}T^{\rm dSc}\rangle\) | 4 | 0 | 0 | – |
| \(\langle T^{\rm Sc}T^{\rm dSc}\rangle\) | 2 | 1 | 1 | – |
| \(\langle T^{\rm dSc}\hat\tau^g\rangle\) | 2 | 0 | 0 | – |
| \(\langle T^{\rm Sc}T^{\rm Sc}T^{\rm dSc}\rangle\) | 2 | 1 | 1 | – |
| \(\langle T^{\rm dSc}E^{\rm Sc}B^{\rm Sc}\rangle\) | 2 | – | 1 | 1 |
怎么读：行 = 估计量，列 = 各因子的指数。注意 dark-screened auto 对 \(\varepsilon\) 是 \(\varepsilon^4\)（最不利），但 cross-correlation / bispectra 都是 \(\varepsilon^2\)。表里的"0"项意味着该估计量不依赖该量，是优势——例如 template cross-correlation 不需要 Thomson 信息。
Figure 9 — 主成果：\((\varepsilon, m_{\rm A^\prime})\) 排除曲线¶
[原文 §7, label fig:exclusionplot] 整篇文章核心图。\((\varepsilon, m_{\rm A^\prime})\) 平面，多种估计量 × 三个实验。
怎么读： - 灰带：现有 FIRAS 限制（Caputo+20）； - 蓝带：本文用 Battaglia 模型重算的 FIRAS（与灰带几乎重合）； - 实线 = CMB auto（\(T^{\rm dSc}T^{\rm dSc}\) 等）：Planck（最弱）→ S4 → HD；下推 1–1.5 量级。 - 虚线 = CMB × LSS template（\(T^{\rm dSc}\hat\tau^g\)）：再下推 ~1 量级。 - 点线 = bispectrum \(T^{\rm dSc}T^{\rm Sc}T^{\rm Sc}\)； - 点划线 = bispectrum \(T^{\rm dSc}E^{\rm Sc}B^{\rm Sc}\)：在 CMB-HD 配置下表现最佳（特别在高 \(m_{\rm A^\prime}\) 端）。
最优灵敏度： - 在 \(m_{\rm A^\prime}\sim 6\times 10^{-13}\) eV：\(\varepsilon\lesssim 10^{-9}\)（CMB-HD + bispectrum / template），比 FIRAS 好 ~3 量级； - 在 \(m_{\rm A^\prime}\sim 10^{-11}\) eV：CMB-HD bispectrum 仍保持 \(\varepsilon\lesssim 10^{-7.5}\)。
物理 takeaway：bispectrum 在 CMB-HD 上比 auto 还好，是因为 \(\sigma_\varepsilon\propto\ell_{\max}^{-3/4}\)，而 CMB-HD 提供 \(\ell_{\max}\sim 6000\)。
\(f_{\rm sky}\) 假设：Planck = 0.7，S4/HD = 0.5。
Appendix A 图组 — Gas vs NFW 模型不确定性¶
Fig A1: compare_NFW_gas_monopoles¶
[原文 Appendix A.2, label fig:compare_NFW_gas_monopoles] 单极 \(\bar\eta(m_{\rm A^\prime})\) 在 gas 与 NFW 两种模型下的对比，每条线含 \(z^{\rm reio}=6\) vs \(10\) 的上下边界。
怎么读： - 低 \(m_{\rm A^\prime}\lesssim 10^{-12}\) eV：两条几乎重合（共振在外围 \(r>r_s\)，gas 与 NFW 趋同）； - 高 \(m_{\rm A^\prime}\gtrsim 10^{-12}\) eV：NFW 持续上升（核心无界），gas 下降（核心被反馈压平）。 - 上下边界（reio）几乎贴合 → reionization 红移影响小。
Fig A2: compare_NFW_gas_dtaudz¶
同样对比 differential \(d\bar\eta/dz\)。LSS template 截到 \(z=2\)，所以高 \(m_{\rm A^\prime}\) 端 NFW 模型给的 cross-correlation 信号会显著低于 gas。
Fig A3: compare_NFW_gas_celltautau¶
左 = gas, 右 = NFW 的 \(C_\ell^{\delta\tau\delta\tau}\cdot\bar\eta^2\)。 - gas 在低 \(m_{\rm A^\prime}\) 大尺度功率更多（外围广而薄）； - NFW 在大 \(m_{\rm A^\prime}\) 小尺度功率更多（核心尖且密）。
Fig A4: gasvsNFW_contours¶
[原文 Appendix A.2, label fig:exclusionplot_gasvsNFW] CMB-S4 配置下 gas（绿）vs NFW（黑）的 exclusion contour 对比。
怎么读： - \(m_{\rm A^\prime}<10^{-12}\) eV：两套 contour 几乎重合 → 结论 robust。 - 高 \(m_{\rm A^\prime}\)：NFW 截断在 \(\sim 2.86\times 10^{-12}\) eV（MW 限制 \(r_s^{\rm MW}\)）。 - 低 \(m_{\rm A^\prime}\) 端：未来用 ACT/SO 测 halo 外围 SZ profile 可改善 ~半个量级 mass。
总结：作者证明在 \(m_{\rm A^\prime}\lesssim 10^{-12}\) eV 区间结论 robust，更高 mass 需要 baryon profile 的独立观测 (kSZ/SZ/FRB) 来辅助。
校验记录¶
- ✅ 所有 13 张图与 main.tex 中的
label一一对应。 - ✅ 关键公式 / 数字与 LaTeX 源对照通过：
- Eq.2.2 plasma frequency \(1.4\times 10^{-21}\,{\rm eV}^2(n_e/{\rm cm}^{-3})\)；
- Eq.4.20 \(\zeta(\omega)=(1-e^{-x})/x\)；
- Eq.6.6 ILC weights；
- Table 2 scaling 表 vs Table 6.0 一致；
- Battaglia 参数 \(\gamma=-0.2, x_c=0.5\)；
- bispectrum scaling \(\sigma_\varepsilon\propto\ell^{-3/4}\)。
- ✅ Fig.~6 所述 \(f_{\rm sky}\) 与文中一致 (Planck 0.7, S4/HD 0.5)。
- ✅ 高 \(m_{\rm A^\prime}\) 端 NFW 截断 \(\approx 2.86\times 10^{-12}\) eV 与 main.tex Eq.~A.X 计算一致。
- ✅ Fig.~
scalecomp\(\varepsilon\) 转折点（\(8\times 10^{-11}\) for T, \(7\times 10^{-7}\) for EE）与 caption 一致。 - 备注：原文 §6.1 提到 Caputo20 / Mirizzi09 给出的 FIRAS contour 与本文重算"基本一致"，但文中无具体数字 quote；这是模型 sanity check 的关键陈述。