Patchy Screening of the CMB from Dark Photons — 故事版¶
「如果宇宙里真的混着一种"暗光"，它会在 CMB 上留下一片有花纹的阴影——而这片花纹和星系网完全一致。」
第 0 幕：背景——dark photon 与"等离子体扫频器"¶
[原文 §1] 想象 SM 的 photon 旁边再开一个 \(U(1)^\prime\) 规范场——dark photon \(\rm A^\prime\)，质量 \(m_{\rm A^\prime}\)，与 SM photon 之间有微小动力学混合 \(\varepsilon\)（Lagrangian Eq.1.1）。
[原文 §1, §2] 关键物理：在等离子体里，photon 不再无质量，而是获得 plasma mass
当 photon 沿视线穿过电子密度变化的区域，\(m_\gamma^2\) 被自然 "扫频"。只要某点 \(m_\gamma^2(\vec x)=m_{\rm A^\prime}^2\)，就发生 MSW 类型的共振转换——photon 一去不返地变成 dark photon。
[补充] 这是个一维 Landau-Zener 问题：转换概率 \(\Gamma_{\rm res}\sim\pi\varepsilon\, m_{\rm A^\prime}^2/\omega\) 乘 "共振时间" \(\Delta t_{\rm res}\sim\varepsilon|\partial_t \ln m_\gamma^2|^{-1}\) —— 后者越长（密度梯度越缓）转得越多。
第 1 幕：FIRAS 的旧约束——只听单极¶
[原文 §6.1] 上一代的"宇宙学探测"用 COBE/FIRAS 测 CMB 平均频谱：如果 dark photon 真的吃掉了一部分 photon，CMB 黑体谱会出现频率依赖的小亏损：
FIRAS 在 \(68\)–\(639\) GHz 有 43 个频率点，残差 \(\sim 10^{-4}\)。\(\chi^2\) 拟合给 \(\varepsilon\lesssim 10^{-6}\)（Fig.~gas_firascontour）。
[补充] 这只是"取了 \(\bar\tau\) 的单极"——把整个 sky 平均了。但 dark photon 在 halo 内共振，晕的位置就是非平均的：每个晕都是一个独立的 "screen"。如果有 1000 万个晕组成的天图模式，单极扔掉的信息量是 \(10^7\) 倍。
第 2 幕：Halo 内共振——为什么 patchy？¶
[原文 §2.2, §3] 进入低红移 (\(z\lesssim 6\))，CMB photon 经过的路上，最大的电子密度对比来自虚拟 dark matter halo 内的气体——Battaglia AGN feedback 剖面（Eq.2.6）：
[原文 §2.2] 这条剖面在 \(r\to 0\) 处有限（核心被反馈压平），在 \(r/r_{200}\to 1\) 处缓降，再被虚拟半径硬截断。所以对每个 dark photon mass，存在一个 resonance shell \(r_{\rm res}(z,m,m_{\rm A^\prime})\)： - 重质量 dark photon \(\to\) \(r_{\rm res}\to 0\)（要求高密度，集中在大晕的核心）； - 轻质量 \(\to\) \(r_{\rm res}\to r_{\rm vir}\)（低密度处即可，每个小晕都贡献）。
[原文 §3, Fig.~gas_dtaudz] 把所有晕加起来，得到 differential optical depth \(d\bar\tau/dz\)：质量越轻信号越集中在 \(z\to 0\) 附近；质量越重则要"借"高 \(z\) 大团块。
[原文 §3, Fig.~gas_monopoles] 总单极 \(\bar\eta(m_{\rm A^\prime})\) 是个钟形：两端被虚拟半径 / halo mass function 抑制，峰值在 \(m_{\rm A^\prime}\sim 6\times 10^{-13}\) eV。这就是这套方法的"灵敏度天花板"。
第 3 幕：物理关键差异——dark screening 直接乘 \(\bar T\)¶
[原文 §4] 现在重头戏。考虑两种 screening 对 CMB 的影响：
| Thomson screening (SM) | Dark screening (BSM) | |
|---|---|---|
| 物理 | 光子被电子弹来弹去 | 光子被吃掉变 dark photon |
| 频谱 | 保黑体 | 频率依赖 (\(\zeta(\omega)/\omega\)) |
| 振幅 | \(T^{\rm Sc}\simeq[1-\tau^{\rm Th}]T(\hat n)\) | \(T^{\rm dSc}\simeq -\tau(\hat n,\omega)[\bar T+T(\hat n)]\) |
| 阶数 | 二阶（\(\tau^{\rm Th}\cdot\delta T\)） | 一阶（\(\tau\cdot\bar T\)） |
[原文 §4 引言] 这一句是整篇文章的灵魂：Patchy dark screening couples the CMB monopole to fluctuations in the optical depth, and is a 1st order effect。\(\bar T=2.725\,\)K \(\sim 10^4\,\delta T_{\rm CMB}\)，所以即使 \(\tau\) 很小，\(T^{\rm dSc}\) 仍然比 patchy Thomson 大 4 个量级。
[补充] 物理图景：Thomson 散射"换来换去"——散出去和散进来基本相消；dark photon 转换"只出不进"——光子真的少了一颗。所以 dark screening 在每条视线上是 吸收，吸收的量随 \(\bar T\) 直接出现。
第 4 幕：频率指纹与 ILC 分离¶
[原文 §6.2] 把 dark screening 在 CMB 温度单位下展开（Eq.4.18–4.19）：
频率因子 \(\zeta(\omega)/\omega\) 与 CMB 黑体（在温度单位下 = 常数）完全不同 → 多频实验可以用 ILC 分离 \(T^{\rm dSc}\) 与 \(T^{\rm Sc}\)。基准频率取 \(\omega_0=30\) GHz（CMB 峰下方），weights \(\mathbf w_\ell=\mathbf C_\ell^{-1}\mathbf e/(\mathbf e^\dagger \mathbf C_\ell^{-1}\mathbf e)\)。
[原文 Fig.~weightsCMBS4] 在 CMB-S4 配置下，主要靠 93 / 145 GHz（最低噪声）减去黑体；其余通道按 \(\omega^{-1}\) 加权用来抓 dark screening 的频率谱。
[补充] ILC 残余噪声 \(\tilde N_\ell^{T^{\rm dSc}T^{\rm dSc}}\) 已经把"无法靠多频区分"的部分计入；在无穷多频率极限下可以完美分离，实际有限通道下高 \(\ell\) 噪声不增反降（Fig.~comparisonsCMBS4）。
第 5 幕：5 种估计量阶梯¶
[原文 §6.3–6.5, Table 6.0] 一旦把 \(T^{\rm dSc}\) 单独拽出来，就可以构造一系列 "搜索 dark photon" 的统计量：
(1) FIRAS 单极 \(\langle T^{\rm dSc}\rangle\) ∝ \(\varepsilon^2\)¶
旧约束（Fig.~gas_firascontour）：\(\varepsilon\lesssim 10^{-6}\)。
(2) CMB auto \(\langle T^{\rm dSc}T^{\rm dSc}\rangle\) ∝ \(\varepsilon^4\)¶
[原文 §6.3] 因为有 \(\bar T^2\) 加成，即使 \(\varepsilon^4\) 也压得过 FIRAS。Fisher： $$ \sigma_\varepsilon\simeq 0.7\left[f_{\rm sky}\sum_\ell\frac{2\ell+1}{2}\left(\frac{\bar T^2 C_\ell^{\tau\tau}(\varepsilon^4=1)}{\tilde N_\ell^{T^{\rm dSc}T^{\rm dSc}}}\right)^2\right]^{-1/8} $$ Planck 给约 \(\varepsilon\lesssim 10^{-7.5}\)，CMB-S4 给 \(\sim 10^{-8}\)。
(3) CMB × LSS template \(\langle T^{\rm dSc}\hat\tau^g\rangle\) ∝ \(\varepsilon^2\)¶
[原文 §6.4] 用 galaxy survey 构造 \(\hat\tau^g(\varepsilon_0,\omega)\) 模板（Eq.5.2），与 dark-screened CMB 交叉。\(\varepsilon^2\) 标度让 \(\sigma_\varepsilon\propto\ell^{-1/2}\)，相比 auto 多 1/4 量级好转。CMB-S4 + LSS 给 \(\varepsilon\lesssim 10^{-9}\)。
(4) CMB × Thomson screening \(\langle T^{\rm dSc}T^{\rm Sc}\rangle\) ∝ \(\varepsilon^2\)¶
[原文 §5, §6.5] Thomson 与 dark 都跟 halo 内电子，必然相关：\(C_\ell^{\tau\tau^{\rm Th}}\) 给出 cross-power（Fig.~comparison_corrs）。但 \(\tau^{\rm Th}\sim 10^{-3}\) 太小，单纯 2pt 不如 (2)/(3)。
(5) Bispectra \(\langle T^{\rm dSc}T^{\rm Sc}T^{\rm Sc}\rangle\)、\(\langle T^{\rm dSc}E^{\rm Sc}B^{\rm Sc}\rangle\) ∝ \(\varepsilon^2\)¶
[原文 §5.4, §6.5] 把 (4) 升级到三点函数。Eq.5.10–5.12 给出 bispectrum： $$ B^{T^{\rm dSc}T^{\rm Sc}T^{\rm Sc}}{\ell\ell^\prime\ell^{\prime\prime}}=\bar T\sqrt{2\ell^{\prime\prime}+1}W^{000}}}(C^{TT{\ell^\prime}+C^{TT}_\ell $$ 最关键：bispectrum 灵敏度 }})C^{\tau\tau^{\rm Th}\(\sigma_\varepsilon\propto\ell^{-3/4}\) —— 小尺度信息回报最大。所以 CMB-HD（\(\ell\sim 6000\)，10× 更精细的 polarization）在这条估计量上独占优势。CMB-HD 给 \(\varepsilon\lesssim 10^{-9}\)。
第 6 幕：主成果图——把 \(\varepsilon\) 推下 3 个量级¶
[原文 Fig.~gas_contours, §7] 综合所有估计量 + 三个实验，画在 \((\varepsilon, m_{\rm A^\prime})\) 平面（Fig.~6）：
- 灰带：FIRAS 现有限制（\(\varepsilon\lesssim 10^{-6}\)）；
- 蓝带：本文用 Battaglia gas + halo model 重算的 FIRAS 限制——与已有几乎一致，作为 sanity check；
- 实线（CMB auto）：Planck → S4 → HD，逐次 ~1 量级提升；
- 虚线（CMB × template）：再下推 ~1 量级；
- 点线 / 点划线（bispectra）：CMB-HD 配置下追平 auto，且对小尺度 \(m_{\rm A^\prime}>10^{-12}\) eV 反而更好。
整体下推幅度：FIRAS → 最优组合，约 2.5–3 个量级。覆盖区间 \(10^{-13}\lesssim m_{\rm A^\prime}\lesssim 10^{-11}\) eV。
第 7 幕：模型不确定性——gas 还是 NFW？¶
[原文 Appendix A] 高 \(m_{\rm A^\prime}\) 端共振发生在 halo 核心 \(r<r_s\)，那里 gas（Battaglia）和 NFW 差异巨大。极端情形：假设重子完全跟随 dark matter（NFW，无反馈），重新算所有曲线。
[原文 Fig.~compare_NFW_gas_monopoles, gasvsNFW_contours] 结果：
- \(m_{\rm A^\prime}\lesssim 10^{-12}\) eV（共振在外围）：gas vs NFW 几乎一样——结论 robust。
- \(m_{\rm A^\prime}\gtrsim 10^{-12}\) eV（共振在核心）：差异显著，最坏可达 30% 在 \(\bar\eta\) 上。
- 银河系本地贡献：用 NFW 时单调上涨，给上限 \(m_{\rm A^\prime}\lesssim 2.86\times 10^{-12}\) eV（NFW 在 \(r_s^{\rm MW}\) 截断），Battaglia 给的更弱。
[原文 §7] 改进方向：用 ACT/SO 的 thermal SZ profile 测量、CHIME/FRB 的色散度等独立约束 baryon profile，可显著减小高 \(m_{\rm A^\prime}\) 端的系统误差。
第 8 幕：方法论遗产——\(\langle{\rm SM}\times{\rm BSM}\rangle\) 关联函数¶
[原文 §7] 作者明确指出这是一种新范式：
"The methodologies we developed in this paper can be used to search for conversions of photon to dark photon in various other environments..."
核心思想：用 SM 各向异性场（Thomson screening、CMB lensing、kSZ velocity reconstruction、LSS galaxy survey）作"放大器"，与 BSM 信号 \(\propto\varepsilon^n\) 做 cross-correlation，可以把 BSM 限制提到与"BSM 单极"同样的 \(\varepsilon\) 标度，但因为 angular 信息多得多，灵敏度大幅领先。
[补充] 同样套路可以推广到： - Axion-photon 转换（\(\gamma\to a\) 在磁场中）； - Dark matter 衰变 / 湮灭与 LSS 的 cross-correlation； - Fifth force / 长程力对 galaxy redshift survey 的 imprint。
CMB 不再只是"被动的标准烛光"，而是 "BSM 检测平台"。
一句话的物理图景¶
如果暗光真的存在，它会让 CMB 在每个星系晕的方向上少几颗光子——而这个"少"既有方向（patchy）、又有频率（\(\zeta(\omega)/\omega\)），还和 LSS 完全相关。三者合起来，把混合参数 \(\varepsilon\) 的限制从 FIRAS 的 \(10^{-6}\) 推到 \(10^{-9}\)。
这是把"CMB 当 BSM 检测器"的一次教科书级演示。